Rätselhafte Transaktion

Ich weiß nicht genau, wann ich auf dieses Rätsel gestoßen bin, vermutlich irgendwo in den Werken Martin Gardners, aber es hat seinen Grund, dass ich es so faszinierend finde:

Joe und Jim treiben eine Schafherde in die Stadt, um sie zu verkaufen. Die Anzahl ihrer Schafe ist gleich mit der Anzahl der Dollars, die sie pro Schaf erhalten; ihre Bezahlung erfolgt in Zehn-Dollar-Scheinen und Ein-Dollar-Scheinen, wobei in der Summe so viele Zehn-Dollar-Scheine wie möglich sind. Joe teilt das Geld auf: Ein Zehner für ihn, ein Zehner für Jim, ein Zehner für ihn, ein Zehner für Jim und so weiter. Als Alle Zehner verteilt sind, meint Joe: "Jetzt hast Du aber mehr Geld als ich!"

Jim erwidert: "Dafür bekommst Du nun alle Ein-Dollar-Scheine."

"Das ist immer noch nicht genug, damit wir beide gleich viel abbekommen!"

"Stimmt, ich schreibe Dir über die restliche Summe einen Scheck aus."

Welche Geldsumme muss Joe auf dem Scheck eintragen?

Es ist eines meiner Lieblingsrätsel, weil es auf den ersten Blick nahezu unlösbar erscheint; es wirkt, als ob notwendige Information zur Lösung fehlt. Dem ist aber nicht so, und im Grunde ist die Aufgabe sogar sehr einfach...

Lösung (mit dem Cursor markieren, um sichtbar zu machen):

2 Dollar.

Da die Anzahl der Schafe der Anzahl der Dollars pro Schaf entspricht, ist die Dollarsumme eine Quadratzahl. Alle Quadratzahlen, die eine ungerade Zehnerstelle haben, enden auf 6.

Der Beweis hierfür: Für Quadrate von Zahlen unter 10 trifft das nur auf die 16 und die 36 zu, den Quadraten von 4 bzw. 6. Jede höhere Quadratzahl lässt sich nach der binomischen Formel zerlegen in: Ein Quadrat eines Vielfachen von 10, dem Doppelten des Produkts dieses Vielfachen von 10 und einer Zahl unter Zehn, und dem Quadrat dieser Zahl unter Zehn. Nur dieser letzte Bestandteil ist nicht ohne Rest durch 20 teilbar, also bestimmt auch nur er darüber, ob die Zehnerstelle gerade oder ungerade ist.

Joe hatte aber eine ungerade Anzahl Zehn-Dollar-Scheine zu verteilen, also blieben sechs einzelne Dollar übrig. Die Differenz der Auszahlungen beträgt somit vier Dollar, und der Ausgleich geschieht, indem Joe zwei Dollar abgezogen und diese Jim gutgeschrieben werden.

Allerdings gibt es keine Möglichkeit, herauszubekommen, wieviele Schafe die beiden verkauften, und vermutlich ist das Rätsel deswegen so verwirrend, weil man sich leicht einbildet, das wäre notwendig, um die Summe auf dem Scheck ausfindig zu machen.