Noch etwas zum Pi-Day

Vom pythagoreischen Lehrsatz

Die Wahrheit, sie besteht in Ewigkeit,
Wenn erst die blöde Welt ihr Licht erkannt;
Der Lehrsatz nach Pythagoras benannt
Gilt heute, wie er galt zu seiner Zeit.

Ein Opfer hat Pythagoras geweiht
Den Göttern, die den Lichtstrahl ihm gesandt;
Es taten kund, geschlachtet und verbrannt,
Einhundert Ochsen seine Dankbarkeit.

Die Ochsen seit dem Tage, wenn sie wittern,
Daß eine neue Wahrheit sich enthülle,
Erheben ein unmenschliches Gebrülle;

Pythagoras erfüllt sie mit Entsetzen;
Und machtlos sich dem Licht zu widersetzen
Verschließen sie die Augen und erzittern.

Adelbert von Chamisso

Pi-Day Rätsel

Dank Google-doodle habe ich diesmal nicht den Pi-Day verpasst: Den 3.14. in der amerikanischen Schreibweise (leider hat das Jahr keine 14 Monate...).
Zur Feier des Tages folgendes Rätsel:
Der berühmte schweizer Fliesenleger Peter Agoras bekommt den Auftrag, den Boden eines kreisrunden Flurs zu kacheln. Da er seine Preisliste nach der Quadratmeterzahl, die er kacheln soll, gestaltete, ärgert er sich: Unheimlich viel Verschnitt! Damit er kein Verlustgeschäft macht, will er die Arbeit möglichst effizient durchziehen, angefangen mit der Preisberechnung. Er möchte möglichst wenige Messungen durchführen, um die Fläche des Flurs zu bestimmen.
Wie schafft er es mit einer einzigen?

Die Lösung plaziere ich unter der Aufgabenstellung meines letzten Rätsels hier.

Des Rätsels Lösung

Es ist an der Zeit, das Rätsel aufzulösen, welches ich vor einiger Zeit hier stellte. Mir gefiel es, weil es in die Kategorie "Rätsel, die leicht wären, würde man es sich nicht selber schwer machen" gehört. Vermutlich würden die meisten Menschen aufgrund der Aufgabenstellung und ihrer Illustrationen denken, es wären konvexe Fünfecke verlangt; dem war aber nicht so, und mit 11 teilweise konkaven Fünfecken lässt sich die Aufgabe lösen.

Das Fünfeck-Rätsel

Vor ein paar Jahren stellte ich mir selber folgende Aufgabe, hielt sie eine Zeit lang für unlösbar, und stieß dann erst bei dem Versuch, ihre Unlösbarkeit zu beweisen, doch auf eine Lösung.

Auf der Abbildung ist zu sehen, wie man ein Dreieck in vier Dreiecke zerlegt, so dass keine der entstandenen Teildreiecke eine gemeinsame Seitenlinie haben. Also keine Strecke eine komplette Seite zweier unterschiedlicher Dreiecke darstellt.

Daneben entsprechendes bei einem Viereck. Die Zerteilung in kleinere Vierecke, von denen kein Paar eine vollständig gemeinsame Seite hat, benötigt hier fünf Segmente.

Frage: In wie viele Fünfecke muss man ein Fünfeck zerlegen, um zu vermeiden, dass sich zwei Teilfünfecke eine Seite auf voller Länge teilen?

Lösung hier.

Und hier die Lösung für das Pi-Day Rätsel:

Peter Agoras misst die Tangente der inneren Wand des Flurs bis zur äußeren Wand. Sie entspricht dem Durchmesser eines Kreises, dessen Fläche die Fläche des äußeren Kreises minus der Fläche des inneren Kreises ist. Die Berührungspunkte mit den Kreisen ergeben zusammen mit ihrem gemeinsamen Mittelpunkt zwei Rechtwinkelige Dreiecke. Der Satz des Pythagoras, den ich wohl nicht näher ausführen muß, belegt dann die Gleichheit der Flächengröße.